Question

6、AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，∠B的平行線交AD于M，交AC于N．求證：AB²-AN²=BM•BN．

Answer 1

分析：因AB²-AN²=（AB+AN）（AB-AN）=BM•BN，而由題設易知AM=AN，聯想割線定理，構造輔助圓即可證得結論．

解答：證明：如圖，∵∠2+∠3=∠4+∠5=90°，
又∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠2．從而，AM=AN．
以AM長為半徑作⊙A，交AB于F，交
BA的延長線于E．則AE=AF=AN．
由割線定理有
BM•BN=BF•BE
=（AB+AE）（AB-AF）
=（AB+AN）（AB-AN）
=AB²-AN²，
即AB²-AN²=BM•BN．

點評：本題主要考查了切割線定理，解決的關鍵是利用割線定理得到BM•BN=BF•BE，注意到BF=AB+AN，而BE=AB-AN是解題關鍵．