Question

已知線段AC=8，BD=6．
（1）已知線段AC垂直于線段BD．設圖（1）、圖（2）和圖（3）中的四邊形ABCD的面積分別為S₁，S₂和S₃，則S₁=

24

，S₂=

24

，S₃=

24

；
（2）如圖（4），對于線段AC與線段BD垂直相交（垂足O不與點A，C，B，D重合）的任意情形，請你就四邊形ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）把四邊形ABCD的面積分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；
（2）猜想，四邊形的面積等于互相垂直的對角線乘積的一半，然后根據四邊形ABCD的面積分成△ABD和△BCD的和進行證明．

解答：解：（1）S₁=

1

2

×6×3+

1

2

×6×5=9+15=24，
S₂=

1

2

×6×4+

1

2

×6×4=12+12=24，
S₃=

1

2

×6×6+

1

2

×6×2=18+6=24；

（2）猜想四邊形ABCD面積為24，
理由如下：S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
=

1

2

BD•AO+

1

2

BD•CO，
=

1

2

BD（AO+CO），
=

1

2

BD•AC，
=

1

2

×8×6，
=24．

點評：本題考查了多邊形，三角形的面積，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積的和是解題的關鍵，利用規則圖形的面積求不規則圖形的面積是常用的方法之一．