Question

平面內有四個點A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度為整數的值可以是    ．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：如圖1，根據圓周角定理可以退出點C在以點O為圓心的圓上；
如圖2，根據已知條件可知對角∠AOB+∠ACB=180°，則四個點A、O、B、C共圓．分類討論：如圖1，如圖2，在不同的四邊形中，利用垂徑定理、等邊△MAO的性質來求OC的長度．
解答：解：如圖1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，
∴點C在以點O為圓心的圓上，且在優弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
如圖2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四個點A、O、B、C共圓．
設這四點都在⊙M上．點C在優弧AB上運動．
連接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵MA=MO，
∴△AMO的等邊三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，
∴OC可以取整數3和4．
綜上所述，OC可以取整數2，3，4．
故答案是：2，3，4．
點評：本題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質．此題需要分類討論，以防漏解．在解題時，還利用了圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關系．