Question

如圖，已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形．
（3）在第（2）條件下探索OBED的形狀．

Answer 1

（1）證明：連接OD、DB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E為BC邊上的中點，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°，
∵D為⊙O上的點，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∠CAB=45°．
理由是：∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO，
∴DE∥AO，
∵E為BC中點，OA=OB，
∴EO∥AD，
∴四邊形AOED是平行四邊形，
即當∠A=45°時，四邊形AOED是平行四邊形．

（3）解：OBED的形狀是正方形．
理由是：∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°，OB=OD，
∴四邊形OBED是正方形，
即OBED的形狀是正方形．
分析：（1）連接OD、DB，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據直角三角形性質求出DE=BE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，即可求出答案；
（2）根據三角形的中位線求出OE∥AD，求出∠DOA=90°=∠EDO，得出DE∥AB即可；
（3）根據矩形和正方形的判定求出即可．
點評：本題主要考查對平行線的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，切線的性質和判定，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．