Question

如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠ABC的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）若AB=3，EF=2，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OE，再證∠FEO=90°即可；
（2）證明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例關系式，勾股定理得出AE，BF的關系式，求出AE的長．

解答：（1）證明：連接OE，OE交AC于G點；
∵BE平分∠ABC；
∴∠ABE=∠CBE；
∴

AE

=

CE

；
∴∠EAC=∠ABE；
∵EF∥AC；
∴∠AEF=∠EAC；
∴∠AEF=∠ABE；
∵OA=OE；
∴∠OAE=∠OEA；
∵AB是直徑；
∴∠ABE+∠EAB=90°；
∴∠AEO+∠AEF=90°；
∴OE⊥EF；
∴EF是⊙O切線．

（2）解：易證△EAF∽△BEF；
∴

EF

FB

=

AF

EF

；
∴EF²=FB•AF；
∴AF=1；
∵△EAF∽△BEF；
∴

AE

BE

=

AF

EF

=

1

2

；
∵AB=3；
∴AE=

3 5

5

，BE=

6 5

5

；
∵AD∥EF；
∴△ABD∽△FBE；

BD

BE

=

BA

BF

=

3

4

；
∴BD=

9 5

10

；
∵△CBD∽△EBA；

CD

BD

=

AE

AB

=

5

5

；
∴CD=

5

5

BD=

9

10

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．