Question

某小型加工廠的某種產品按質量分為10個檔次，加工第一檔次（即最低檔次）的產品一天生產38件，每件利潤5元，每提高一個檔次，利潤每件增加1元．
（1）當產品質量是第4檔次時，提高了幾檔？每件利潤是多少元？
（2）由于加工工序不同，此產品每提高一個檔次，一天產量減少2件，若加工第x檔的產品一天的總利潤為y元．（其中x為正整數，且1≤x≤10）．求出y與x的函數關系式．
（3）若加工某檔次產品一天的總利潤為280元，該工廠加工的是第幾檔次的產品？
（4）這個加工廠一天的利潤能達到320元嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）產品質量是第4檔次時，提高了3檔，每件利潤8元；

（2）設該產品的質量檔次為x，利潤y=[5+（x-1）][38-2（x-1）]=-2x²+32x+160；

（3）令y=280，即280=-2x²+32x+160，解得x=10或6，故若加工某檔次產品一天的總利潤為280元，該工廠加工的是第10或6檔次的產品；

（4）利潤y=[5+（x-1）][38-2（x-1）]=-2x²+32x+160=-2（x-8）²+288，當x=8時，y有最大值為288＜320，故這個加工廠一天的利潤不能達到320元．
分析：（1）產品質量是第4檔次時，提高了3檔，每件利潤8元；
（2）設該產品的質量檔次為x，每件利潤為5+（x-1），銷售量為38-2（x-1），根據：每件利潤×銷售量=總利潤，列出函數關系式；
（3）根據（2）問的函數關系式，令y=320，求出x的值；
（4）求出函數關系式y的最大值，然后和320比較．
點評：本題主要考查二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵是從題干中找到等量關系式列出等式方程，熟練運用二次函數的性質進行解題，此題難度一般．