Question

（A）某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；（用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）
（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．
（B） 在一次實踐活動中，某課題學習小組用測傾器、皮尺測量旗桿的高度，他們設計了如下方案（如圖①所示）：
（1）在測點A處安置測傾器，測得旗桿頂部M的仰角∠MCE=α；
（2）量出測點A到旗桿底部N的水平距離AN=m；
（3）量出測傾器的高度AC=h．
根據上述測量數據，即可求出旗桿的高度MN．
如果測量工具不變，請仿照上述過程，設計一個測量某小山高度（如圖②）的方案：
（1）在圖②中，畫出你測量小山高度MN的示意圖（標上適當字母）；
（2）寫出你設計的方案．

Answer 1

解：（1）先作弦AB的垂直平分線；在弧AB上任取一點C，連接AC，作弦AC的垂直平分線，兩線交點作為圓心O，OA作為半徑，畫圓即為所求圖形．


（2）過O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，連接OB．

∵OE⊥AB，
∴BD=AB=×16=8cm．
由題意可知，ED=4cm，
設半徑為xcm，則OD=（x-4）cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD²+BD²=OB²，
∴（x-4）²+8²=x²，
解得x=10．
即這個圓形截面的半徑為10cm；

（B） （1）示意圖如右所示；
（2）①在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
②在測點A與小山之間的B處安置測傾器（A、B與N在同一條直線上），測得此時山頂M的仰角∠MDE=β；
③量出測傾器的高度AC=BD=h，以及測點A、B之間的距離AB=m．
根據上述測量數據，即可求出小山的高度MN．
分析：（A）（1）在上找一個點C，連接AC，分別作出弦AB與AC的垂直平分線，兩線交于O點，則點O為輸水管的圓心，連接OA，即為輸水管的半徑，補全這個輸水管道的圓形截面即可；
（2）如圖所示，根據垂徑定理得到BD=AB=×16=8cm，然后根據勾股定理列出關于圓形截面半徑的方程求解；
（B）（1）根據題意要求，可作出示意圖；
（2）根據（1）中，所給的測量工具，可先測得∠MCE=α，山頂M的仰角∠MDE=β．根據測點A、B之間的距離AB=m構造兩個直角三角形，可得設計方法．
點評：本題主要考查了垂徑定理的應用，俯角、仰角的定義，要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數解直角三角形．