Question

如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點D為BD的中點，且OA平分∠BAC．
（1）求證：OC平分∠ACD；
（2）求證：OA⊥OC；
（3）求證：AB+CD=AC．

Answer 1

分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根據垂直的定義即可證明；
（3）根據全等三角形對應邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可．

解答：證明：（1）過點O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵點O為BD的中點，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

AO=AO OE=OB

，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=

1

2

×180°=90°，
∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．