Question

如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？ 若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標。

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2）， ∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2， 將A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此拋物線的解析式為；
（2）存在， 如圖，設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為， 當1＜m＜4時，AM=4-m，-2， ∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①當時， △APM∽△ACO， 即4-m=2， 解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）； ②當時， △APM∽△CAO， 即， 解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去）， ∴當1＜m＜4時，P（2，1）， 類似地可求出當m>4時，P（5，-2）， 當m<1時，P（-3，-14）， 綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；
（3）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為， 過D作y 軸的平行線交AC于E， 由題意可求得直線AC的解析式為， ∴E點的坐標為， ∴ ∴ ∴當t=2時，△DAC的面積最大， ∴D（2，1）。