Question

（2013•蘇州一模）如圖，拋物線經過A，C，D三點，且三點坐標為A（-1，0），C（0，5），D（2，5），拋物線與x軸的另一個交點為B點，點F為y軸上一動點，作平行四邊形DFBG，
（1）B點的坐標為

（3，0）

；
（2）是否存在F點，使四邊形DFBG為矩形？如存在，求出F點坐標；如不存在，說明理由；
（3）連結FG，FG的長度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在說明理由；
（4）若E為AB中點，找出拋物線上滿足到E點的距離小于2的所有點的橫坐標x的范圍：

-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3

．

Answer 1

分析：（1）根據點C、D的縱坐標相等求出拋物線的對稱軸，然后根據二次函數的對稱性求出點B的坐標即可；
（2）連接CD，然后求出△CDF和△OFB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OF，然后寫出點F的坐標即可；
（3）連接BD，設FG、BD相交于點H，根據平行四邊形的對角線互相平分可得FG=2FH，再求出點H的坐標，再根據垂線段最短可得FH⊥y軸時，FH最短，從而求出FH，再求出FG即可；
（4）利用待定系數法求出函數解析式，再寫出以點E為圓心，以2為半徑的圓的解析式，然后消掉x得到關于y的一元二次方程，求解得到y的值，再代入拋物線解析式求出到點E的距離等于2的橫坐標x的值，然后根據函數圖象解答．

解答：解：（1）∵C（0，5），D（2，5），
∴拋物線的對稱軸為直線x=

2

2

=1，
∵A（-1，0），
∴2×1-（-1）=3，
∴點B的坐標為（3，0）；

（2）如圖，連接CD，則∠DCF=90°，
∵四邊形DFBG為矩形，
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°，
∵∠OFB+∠OBF=90°，
∴∠DFC=∠OBF，
又∵∠DCF=∠FOB=90°，
∴△CDF∽△OFB，
∴

CD

OF

=

CF

OB

，
∵B（3，0），C（0，5），D（2，5），
∴CD=2，OB=3，OC=5，
∴CF=5-OF，
∴

2

OF

=

5-OF

3

，
整理得，OF²-5OF+6=0，
解得OF=2或OF=3，
∴點F的坐標為（0，2）或（0，3）；

（3）連接BD，設FG、BD相交于點H，
∵四邊形DFBG是平行四邊形，
∴FG、BD互相平分，
∴FG=2FH，
又∵B（3，0），D（2，5），
∴點H的坐標為（2.5，2.5），
根據垂線段最短，FH⊥y軸時，FH最短，
此時，FH=2.5，
FG=2FH=2×2.5=5；

（4）設拋物線解析式為y=a（x-1）²+k（a≠0），
把點A、C的坐標代入得，

4a+k=0 a+k=5

，
解得

a=- 5 3 k= 20 3

，
∴拋物線解析式為y=-

5

3

（x-1）²+

20

3

，
∵E為AB中點，
∴點E的坐標為（1，0），
∴以E為圓心，以2為半徑的圓為（x-1）²+y²=4，
與拋物線解析式聯立消掉（x-1）²得，-

5

3

（4-y²）+

20

3

=y，
整理得，5y²-3y=0，
解得y₁=0，y₂=

3

5

，
y=

3

5

時，-

5

3

（x-1）²+

20

3

=

3

5

，
整理得，（x-1）²=

91

25

，
解得x₁=

5- 91

5

，x₂=

5+ 91

5

，
∴-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3時，拋物線上的點到E點的距離小于2．
故答案為：（1）（3，0）；（4）-1＜x＜

5- 91

5

或

5+ 91

5

＜x＜3．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數的對稱性，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的對角線互相平分的性質，待定系數法求二次函數解析式，利用圓的解析式求出拋物線到點E的距離等于2的點的縱坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．