Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過點D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．
（1）求證：點D在⊙O上；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點D在圓O上；
（2）由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線；
（3）過E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長，進而確定出BD的長，再由△BEH與△ODB相似，由相似得比例求出EH的長，△BED以BD為底，EH為高，求出面積即可．
解答：（1）證明：連接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA=OE，
∴OD=OA=OE，
∴點D在⊙O上；

（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（3）解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴根據勾股定理得：AB=10，
設OD=OA=OE=x，則OB=10-x，
∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴==，即=，
解得：x=，
∴OD=，BE=10-2x=10-=，
∵=，即=，
∴BD=5，
過E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD，
∴=，即=，
∴EH=，
∴S_△BDE=BD•EH=．
點評：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．