Question

當a＞0且x＞0時，因為(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，從而x+

a

x

≥2

a

（當x=

a

時取等號）．記函數y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)，由上述結論可知：當x=

a

時，該函數有最小值為2

a

．
（1）已知函數y₁=x（x＞0）與函數y2=

1

x

(x＞0)，則當x=

1

時，y₁+y₂取得最小值為

2

．
（2）已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y2=(x+1)2+4(x＞-1)，求

y2

y1

的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）可以直接套用題意所給的結論，即可得出結果．
（2）先得出

y2

y1

的表達式，然后將（x+1）看做一個整體，繼而再運用所給結論即可．

解答：解：（1）∵函數y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)），由上述結論可知：當x=

a

時，該函數有最小值為2

a

．
∴函數y₁=x（x＞0）與函數y2=

1

x

(x＞0)，則當x=

1

=1，即x=1時，y₁+y₂取得最小值為2．
故答案是：1；2．

（2）∵已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
∴

y2

y1

=

(x+1)2+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

(x＞-1)，
∴

y2

y1

有最小值為2

4

=4．
當x+1=

4

，即x=1時取得該最小值．
檢驗：x=1時，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解．
所以，

y2

y1

的最小值為4，相應的x的值為1．

點評：此題考查了二次函數的應用，題目出的比較新穎，解答本題的關鍵是仔細審題，理解題意所給的結論，達到學以致用的目的．