Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（1，0）和B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，FC∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把點A（1，0）和B（4，0）代入y=ax²+bx+2得，

，

解得，

所以，拋物線的解析式為y=x²﹣x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=，

∵四邊形OECF是平行四邊形，

∴點C的橫坐標是×2=5，

∵點C在拋物線上，

∴y=×5²﹣×5+2=2，

∴點C的坐標為（5，2）；

（3）設OC、EF的交點為D，

∵點C的坐標為（5，2），

∴點D的坐標為（，1），

①點O是直角頂點時，易得△OED∽△PEO，

∴=，

即=，

解得PE=，

所以，點P的坐標為（，﹣）；

②點C是直角頂點時，同理求出PF=，

所以，PE=+2=，

所以，點P的坐標為（，）；

③點P是直角頂點時，由勾股定理得，OC==，

∵PD是OC邊上的中線，

∴PD=OC=，

若點P在OC上方，則PE=PD+DE=+1，

此時，點P的坐標為（，），

若點P在OC的下方，則PE=PD﹣DE=﹣1，

此時，點P的坐標為（，），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．