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如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A(1,0)和B(4,0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點E,點F是位于x軸上方對稱軸上一點,FC∥x軸,與對稱軸右側的拋物線交于點C,且四邊形OECF是平行四邊形,求點C的坐標;

(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.


解:(1)把點A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,

解得

所以,拋物線的解析式為y=x2x+2;

(2)拋物線的對稱軸為直線x=

∵四邊形OECF是平行四邊形,

∴點C的橫坐標是×2=5,

∵點C在拋物線上,

∴y=×52×5+2=2,

∴點C的坐標為(5,2);

(3)設OC、EF的交點為D,

∵點C的坐標為(5,2),

∴點D的坐標為(,1),

①點O是直角頂點時,易得△OED∽△PEO,

=

=

解得PE=

所以,點P的坐標為(,﹣);

②點C是直角頂點時,同理求出PF=

所以,PE=+2=

所以,點P的坐標為();

③點P是直角頂點時,由勾股定理得,OC==

∵PD是OC邊上的中線,

∴PD=OC=

若點P在OC上方,則PE=PD+DE=+1,

此時,點P的坐標為(),

若點P在OC的下方,則PE=PD﹣DE=﹣1,

此時,點P的坐標為(),

綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點P(,﹣)或()或()或(),使△OCP是直角三角形.


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