Question

（2012•南昌）如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點(diǎn)O，B、D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．
（1）求證：AC∥BD；
（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（精確到0.1°）；
（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，
tan61.9°≈0.553；可使用科學(xué)記算器）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），進(jìn)而利用平行線的判定得出即可；
（2）首先作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)；
（3）首先證明Rt△OEM∽R(shí)t△ABH，進(jìn)而得出AH的長(zhǎng)即可．

解答：（1）證明：證法一：∵AB、CD相交于點(diǎn)O，
∴∠AOC=∠BOD…1分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD），
同理可證：∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，…2分
∴AC∥BD，…3分
 證法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
∴

OA

OB

=

OC

OD

=

3

5

…1分
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；…2分
∴AC∥BD…3分；

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm；…4分
∴cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，…5分
用科學(xué)記算器求得∠OEF=61.9°…6分；

（3）解法一：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；…7分
在Rt△OEM中，OM=

OE2-EM2

=

342-162

=30cm…8分，
過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，
同（1）可證：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽R(shí)t△ABH，
∴

OE

AB

=

OM

AH

，AH=

OM•AB

OE

=

30×136

34

=120cm…9分
所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面．
解法二：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；…7分
同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；…8分
過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中
sin∠ABD=

AH

AB

，
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分
所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形利用銳角三角函數(shù)解題是解決問題的關(guān)鍵．