Question

如圖，已知在⊙O中，AB=4

3

，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）先利用同弧所對的圓周角等于所對的圓心角的一半，求出扇形的圓心角為120度，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理可求出半徑的長，利用扇形的面積公式即可求解；
（2）直接根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑．

解答：解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則
BF=

1

2

AB=2

3

．
在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=

AE

OA

．
∴OA=

AE

cos30°

=

2 3

3 2

=4．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=30度．
∴∠BOC=60度．
∵AC⊥BD，∴

BC

=

CD

．
∴∠COD=∠BOC=60度．
∴∠BOD=120度．
∴S_陰影=

nπ•OA2

360

=

120

360

π•42=

16

3

π．

法二：連接AD．
∵AC⊥BD，AC是直徑，
∴AC垂直平分BD．
∴AB=AD，BF=FD，

BC

=

CD

．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120度．
∵BF=

1

2

AB=2

3

，sin60°=

AF

AB

，
AF=AB•sin60°=4

3

×

3

2

=6．
∴OB²=BF²+OF²．即(2

3

)2+(6-OB)2=OB2．
∴OB=4．
∴S_陰影=

1

3

S_圓=

16

3

π．

法三：連接BC．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90度．
∵AB=4

3

，
∴AC=

AB

cos30°

=

4 3

3 2

=8．
∵∠A=30°，AC⊥BD，
∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120度．
∴S_陰影=

120

360

π•OA²=

1

3

×4²•π=

16

3

π．
以下同法一；

（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴2πr=

120

180

π•4．
∴r=

4

3

．

點評：本題主要考查了扇形的面積公式和圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系．本題還涉及到圓中的一些性質(zhì)，如垂徑定理等．