Question

（2001•紹興）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，點(diǎn)P由點(diǎn)C出發(fā)以每秒2 cm的速度沿線CA向點(diǎn)A運(yùn)動（不運(yùn)動至A點(diǎn)），⊙O的圓心在BP上，且⊙O分別與AB、AC相切，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒鐘時，⊙O的半徑是（ ）

A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm

Answer 1

【答案】分析：本題較復(fù)雜，設(shè)AC、AB與⊙O的切點(diǎn)分別為R、M，連接OR、OM，過O作OK⊥BC于K；由于△POR∽△PCB，可得出關(guān)于PR，OR，PC，BC的比例關(guān)系式，由此可求出PR與半徑的比例關(guān)系．由此可表示出OK，AP的長；在Rt△OBK中，已知了OK的表達(dá)式，BK=BC-r，而OB可在Rt△OBM中用勾股定理求得．由此可根據(jù)勾股定理求出半徑r的長．
解答：解：連接OR、OM，
則OR⊥AC，OM⊥AB；過O作OK⊥BC于K，
設(shè)⊙O的半徑為r，
易知：△POR∽△PBC，
∴，
∵BC==6cm，
∴=，即：PR=，
AP=CP=2×2=4cm，
在Rt△BOK與Rt△BMO中，根據(jù)勾股定理，得：
（6-r）²+（4-r）²=BO²=[10-（8-4+）]²+r²
解得：r=cm．
故本題選A．
點(diǎn)評：此題雖是動點(diǎn)問題，但和動點(diǎn)無直接關(guān)系，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用切線的性質(zhì)和勾股定理得到一個關(guān)于半徑的方程，然后求解．