Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P是邊AB的中點，以P為頂點，作∠MPN=∠A，∠MPN的兩邊分別與邊AC交于點M、N．
（1）當△MPN是直角三角形時，求CM的長度；
（2）當∠MPN繞點P轉動時，下列式子：（甲）CM•AN，（乙）CN•AM的值是否保持不變？若保持不變，試求出這個不變的值，并證明你的結論；
（3）連接BM，是否存在這樣的點M，使得△BMP與△ANP相似？若存在，請求出這時CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）顯然∠MPN≠90°，
若∠PMN=90°，則CM=4，
若∠PNM=90°，則PN=3，CN=4，MN=，
∴CM=；

（2）（甲）CM•AN的值不確定（顯然，CM可以為0，從而CM•AN的值為0）；
（乙）CN•AM的值保持不變，且CN•AM=25．
證明如下：
連CP，由已知：∠ACB=90°，AB=10，
∵點P是AB中點，
∴CP=AP=5．
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN．
∴∠PMA=∠CPN．
∴△CPN∽△AMP．
∴．
∴CN•AM=25．

（3）∵∠MPN=∠A，
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，
∴∠ANP=∠BPM．
要使△BMP與△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，則BM=AM，
又P是AB中點，
∴MP⊥AB，
∴△AMP∽△ABC．
∴AM=，
從而CM=；
②若∠BMP=∠A，
則∠BMP=∠MPN，
∴△BMP∽△BAM．
=，
∴=，
∴BM=．
從而CM=．
分析：（1）根據已知條件可以確定顯然∠MPN≠90°，若∠PMN=90°，根據已知條件可以求出CM=4；若∠PNM=90°，則根據已知條件得到PN=3，CN=4，MN=，然后就可以求出CM；
（2）甲的CM•AN的值不確定，由于CM可以為0，從而CM•AN的值為0；乙的CN•AM的值保持不變，且CN•AM=25，連CP，根據已知條件可以得到△CPN∽△AMP，然后根據相似三角形的性質即可求出CN•AM=25；
（3）由∠MPN=∠A得到∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，接著得到∠ANP=∠BPM，要使△BMP與△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，則BM=AM，又P是AB中點，可以得到MP⊥AB，從而推出△AMP∽△ABC．然后根據相似三角形的性質即可求解；
②若∠BMP=∠A，則∠BMP=∠MPN，可以得到△BMP∽△BAM，同①可以求出BM，從而求出CM．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定及勾股定理的應用，解題時要求學生熟練掌握相似三角形的判定方法才能很好解決問題．