Question

如圖，直線l與⊙O相交于A，B兩點，AC是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，DE⊥l于點 E，連結AD，且AD平分∠CAM．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6，AE=2，求⊙O的半徑；
（3）在第（2）小題的條件下，則圖中陰影部分的面積為______

Answer 1

【答案】分析：（1）連結OD，由OA=OD得∠OAD=∠ODA，由AD平分∠CAM得∠OAD=∠DAE，則∠ODA=∠DAE，所以DO∥AB，利用DE⊥AB得到DE⊥OD，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）連結DC，先利用勾股定理計算出AD=4，由AC是⊙O直徑得到∠ADC=90°，易證得△ACD∽△ADE，利用相似比可計算出AC，即可得到圓的半徑；
（3）連結OB，由AE=2，AD=4可得∠AED=60°，而AD平分∠CAM，易得∠EAO=120°，則∠OAB=60°，所以△OAB為等邊三角形，于是∠AOB=60°，
然后根據扇形面積公式和陰影部分的面積=S_扇形OAB-S_△OAB進行計算即可．
解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=2，
∴AD===4，
連結CD，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ADC=90°，
而∠AED=90°，
又∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴=，即=，
解得AC=8．
∴⊙O的半徑4；

（3）連結OB，如圖，
在Rt△ADE中，AE=2，AD=4，
∴∠ADE=30°，
∴∠AED=60°，
而AD平分∠CAM，
∴∠EAO=120°，
∴∠OAB=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴陰影部分的面積=S_扇形OAB-S_△OAB
=-×（4）²
=8α-12．
故答案為8π-12．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點，與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理、扇形的面積公式以及三角形相似的判定與性質．