Question

如圖，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
小題1:若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；
小題2:連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，
試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．

Answer 1

小題1:連接OD. 設⊙O的半徑為r.
∵BC切⊙O于點D，∴OD⊥BC.
∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.
∴ = ，即 = . 解得r = ，     ∴⊙O的半徑為.
   
小題1:四邊形OFDE是菱形. 
∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF="∠B."
∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB="60°."
∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形.  
∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.
∴四邊形OFDE是平行四邊形.
∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形.

小題1:連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則，從而求得r；
小題1:由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B=∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．