Question

如圖，已知點D（6，1）是反比例函數（k≠0）圖象上的一點，點C是該函數在第三象限分支上的動點，過C、D分別作CA⊥x軸，DB⊥y軸，垂足分別為A、B，連結AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式；
（3）設直線CD交x軸于點E，求證：不管點C如何運動，總有△AOB∽△EAC．

Answer 1

解：（1）將點D（6，1）的坐標代入反比例函數解析式可得：1=，
解得：k=6；

（2）過點C作CF⊥DB，交DB的延長線于點F，

則S_△BCD=BD×CF=×6×（1-C_縱）=12，
解得：C_縱=-3，
代入y=，可得點C的坐標為（-2，-3），
設直線CD的解析式為：y=kx+b，
則，
解得：，
故直線CD的解析式為y=x-2．

（3）設點C的坐標為（m，），直線CD的解析式為y=ax+c，
則，
解得：，
即直線CD的解析式為：y=-x+，
令y=0，則x=6+m，則點E的坐標為（6+m，0），
故EA=6+m-m=6，
∵BD=EA=6，BD∥EA，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB∥DE，
∴∠BAO=∠AEC，
又∵∠AOB=∠EAC=90°，
∴△AOB∽△EAC．
分析：（1）將點D的坐標代入反比例函數解析式即可求出k的值；
（2）根據△BCD的面積為12，求出點C的縱坐標，代入反比例函數解析式可得出點C的坐標，繼而利用待定系數法求直線CD的解析式；
（3）設點C的坐標為（m，），求出直線CD的解析式，繼而得出點E的坐標，然后判斷出BD=AE，可得出四邊形ABDE是平行四邊形，從而得出AB∥CD，這樣即可證明△AOB∽△EAC．
點評：本題考查了反比例函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定，難點在第三問，解答此類題目注意大膽設出點的坐標，通過最終消去得解．