Question

（2012•永春縣質檢）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，菱形ABCD在直線上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60°叫一次操作．

（1）對角線AC=

2

；
（2）經過27次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為（結果保留π）

（6

3

+3）π

．

Answer 1

分析：（1）根據菱形四邊相等的性質可得出△ABC是等邊三角形，繼而可得出AC的長度；
（2）從圖中可以看出，第一次旋轉是以點B為圓心，那么菱形中心旋轉的半徑就是OB，解直角三角形可求出OB的長，圓心角是60°，第二次還是以點B為圓心，那么菱形中心旋轉的半徑就是OB，圓心角是60°，第三次就是以點C為旋轉中心，OC為半徑，旋轉的圓心角為60°，旋轉到此菱形就又回到了原圖，故這樣旋轉27次，就是這樣的9個弧長的總長．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=2．
故答案為：2；

（2）∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA=OC=1，
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，

第一次旋轉的弧長為：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第二次旋轉的弧長為：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第三次旋轉的弧長為：

60π×1

180

=

π

3

，
故可得旋轉27次菱形中心O所經過的路徑總長=9（

3

3

π+

3

3

π+

π

3

）=（6

3

+3）π．
故答案為：（6

3

+3）π．

點評：本題主要考查了弧長的計算公式以及菱形的性質，根據已知得出菱形每轉動3次一循環進而得出經過路徑是解題的關鍵．