Question

（2012•永春縣質檢）在平面直角坐標系中，矩形ABCD與等邊△EFG按如圖所示放置：點B、G與坐標原點O重合，F、B、G、C在x軸上，AB=3cm，BC=4

3

cm，EF=2

3

cm．
（1）求△EFG的周長；
（2）△EFG沿x軸向右以每秒

3

cm的速度運動，當點G移至與點C重合時，△EFG即停止運動，設△EFG的運動時間為t秒．
①若△EFG移動過程中，與矩形ABCD的重合部分的面積Scm²，求S與t的函數關系式；
②當△EFG移動（

3

+1）秒時，E點到達P點的位置，一開口向下的拋物線y=

1

a

x2+bx過P、O兩點且與射線AD相交于點H，與x軸的另一個交點為Q，若OQ+PH為定值，試求出定值，并求出相應的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的周長等于邊長的3倍列式計算即可得解；
（2）①分0≤t≤1時，重疊部分是三角形，用t表示出OG的長度，再根據∠EGF的正切值表示出另一直角邊，然后根據直角三角形的面積公式列式整理即可；1＜t≤2時，重疊部分是四邊形，用t表示出OF的長度，再根據∠EFG的正切值表示出另一直角邊，然后根據重疊部分的面積等于等邊△EFG的面積減去小直角三角形的面積，列式整理即可；2≤t≤4時，重疊部分是等邊△EFG的面積，列式計算即可；
②根據路程=速度×時間求出EP，再求出AP的長度，然后得到點P的坐標，把點P坐標代入拋物線解析式得到關于a、b的等式，然后根據拋物線的對稱軸求出另一點Q的坐標，再分點H在點P右側時，利用拋物線的對稱性表示出PH、OQ，然后相加，點H在點P左側時，表示出PH、OQ，然后相加，即可得知為定值的情況，再根據拋物線開口方向向下，PH≥0列式求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵EF=2

3

cm，
∴△EFG的周長=3EF=3×2

3

=6

3

cm；

（2）如圖1，①0≤t≤1時，S=

1

2

3

t•（

3

×

3

t）=

3 3

2

t²，
1＜t≤2時，△EFG沒進入矩形的三角形的面積為，
S_△=

1

2

•（2

3

-

3

t）•

3

（2

3

-

3

t），
=

3 3

2

（2-t）²，
所以，重疊部分的面積為：S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）-

3 3

2

（2-t）²，
=3

3

-

3 3

2

（2-t）²，
2≤t≤4時，S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

），
=3

3

；

②∵△EFG移動（

3

+1）秒，速度為每秒

3

cm，
∴EP=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∴AP=3+

3

-

3

=3，
∴點P（3，3），
∵點P在拋物線上，
∴ab=a-3，
∵拋物線y=

1

a

x²+bx的對稱軸為直線x=-

b

2× 1 a

=-

ab

2

，
∴與x軸的另一個交點Q的坐標為（-ab，0），
拋物線開口向下，a＜0，P、H關于x=-

ab

2

對稱，
當點H在點P右側時，
PH=2（-

ab

2

-3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此時OQ+PH不是定值，舍去；
當點H在點P左側時，
PH=2（3+

ab

2

）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值為6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得，a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
綜上，OQ+PH的定值為6，此時相應的a的取值范圍是-3≤a＜0．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及等邊三角形的性質，矩形的性質，三角形的面積，用規則圖形的面積表示不規則圖形的面積的方法，以及拋物線的對稱軸與對稱性，（2）要根據重疊部分的形狀不同分段求解，（3）要分點H在點P的左、右兩側兩種情況討論．