Question

如圖，三角形ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點，連結EC、BD．

  (1)求證：ΔABD∽ΔACE；

  (2)若ΔBEC與ΔBDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀．

 

Answer 1

【答案】

(1) 證明見解析(2) 等腰三角形

【解析】（1）證明：∵弧ED所對的圓周角相等，∴∠EBD=∠ECD，

又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。

（2）解：△ABC為等腰三角形。理由如下：

∵S_△BEC=S_△BCD，S_△ACE=S_△ABC－S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC－S_△BCD，

∴S_△ACE=S_△ABD。

又由（1）知△ABD∽△ACE，∴對應邊之比等于1。

∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形。

（1）利用圓周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。

（2）根據△BEC與△BDC的面積相等，得出S_△ACE=S_△ABD，進而求出AB=AC，得出答案。