Question

一塊三角形布料，三邊長(zhǎng)分別為13，14，15，需要裁出一圓形布料，其半徑的最大值為（　　）

A．4

B．6.5

C．7

D．7.5

Answer 1

分析：如圖，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，AH為BC邊上的高，當(dāng)圓形布料為三角形ABC的內(nèi)切圓時(shí)，圓的半徑最大，設(shè)⊙O的半徑為R，BH=x，AH=h，則HC=15-x，OD=OE=OF=R，先在Rt△ABH和在Rt△ACH中，利用勾股定理得到關(guān)于h與x的方程組，可求出h，然后利用S_△ABC=S_△OAB+S_△AOC+S_△OBC，可得到關(guān)于R的方程，解方程即可求出R．

解答：解：如圖，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，AH為BC邊上的高，
設(shè)⊙O的半徑為R，BH=x，AH=h，則HC=15-x，OD=OE=OF=R，
在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，即h²+x²=13²①，
在Rt△ACH中，AH²+CH²=AB²，即h²+（15-x）²=14²②，
②-①得225-30x=196-169，
解得x=

33

5

，
把x=

33

5

代入①得h²+（

33

5

）²=13²，
解得h=

56

5

，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△AOC+S_△OBC，
∴

1

2

h•BC=

1

2

AB•R+

1

2

AC•R+

1

2

BC•R，
∴（13+14+15）•R=

56

5

×15，
解得R=4．
即圓形布料的半徑的最大值為4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三角形三邊的距離相等．也考查了勾股定理以及三角形面積公式．