Question

一塊三角形布料，三邊長分別為13，14，15，需要裁出一圓形布料，其半徑的最大值為（ ）
A．4
B．6.5
C．7
D．7.5

Answer 1

【答案】分析：如圖，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，AH為BC邊上的高，當圓形布料為三角形ABC的內切圓時，圓的半徑最大，設⊙O的半徑為R，BH=x，AH=h，則HC=15-x，OD=OE=OF=R，先在Rt△ABH和在Rt△ACH中，利用勾股定理得到關于h與x的方程組，可求出h，然后利用S_△ABC=S_△OAB+S_△AOC+S_△OBC，可得到關于R的方程，解方程即可求出R．
解答：解：如圖，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，AH為BC邊上的高，
設⊙O的半徑為R，BH=x，AH=h，則HC=15-x，OD=OE=OF=R，
在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，即h²+x²=13²①，
在Rt△ACH中，AH²+CH²=AB²，即h²+（15-x）²=14²②，
②-①得225-30x=196-169，
解得x=，
把x=代入①得h²+（）²=13²，
解得h=，
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△AOC+S_△OBC，
∴h•BC=AB•R+AC•R+BC•R，
∴（13+14+15）•R=×15，
解得R=4．
即圓形布料的半徑的最大值為4．
故選A．
點評：本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓，內切圓的圓心叫三角形的內心，三角形內心到三角形三邊的距離相等．也考查了勾股定理以及三角形面積公式．