Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線y＝2x﹣3與y軸交于點A，點A與點B關于x軸對稱，過點B作y軸的垂線l，直線l與直線y＝2x﹣3交于點C．

(1)求點C的坐標；

(2)如果拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)點C坐標為(3，3)；(2)≤n＜或n＝3.

【解析】

(1)根據題意分別求出點A、B、C的坐標；

(2)求得拋物線的對稱軸，頂點的坐標；再分類討論：①當n＞3時；②當n＝3時；③當0＜n＜3時，拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．

解：(1)∵直線y＝2x﹣3與y軸交于點A(0，﹣3)，

∴點A關于x軸的對稱點B(0，3)，l為直線y＝3，

∵直線y＝2x﹣3與直線l交于點C，

∴點C坐標為(3，3)，

(2)∵拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)，

∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n(x﹣2)2+n(n＞0)

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為(2，n)，

∵點B(0，3)，點C(3，3)，

①當n＞3時，拋物線的最小值為n＞3，與線段BC無公共點；

②當n＝3時，拋物線的頂點為(2，3)，在線段BC上，此時拋物線與線段BC有一個公共點；

③當0＜n＜3時，拋物線最小值為n，與線段BC有兩個公共點；

如果拋物線y＝n(x﹣2)2+n經過點B，則3＝5n，解得n＝，

由拋物線的對稱軸為直線x＝2，可知拋物線經過點(4，3)，

點(4，3)不在線段BC上，此時拋物線與線段BC有一個公共點B；

如果拋物線y＝n(x﹣2)2+n經過點C，則3＝2n，解得n＝，

由拋物線的對稱軸為直線x＝2，可知拋物線經過點(1，3)，

點(1，3)在線段BC上，此時拋物線與線段BC有兩個公共點；

綜上所述，當≤n＜或n＝3時，拋物線與線段BC有一個公共點．