Question

【題目】如圖，在中，，是角平分線，交于，的外接圓與邊相交于點，過作的垂線交于，交于，交于，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的半徑；

（3）在（2）的條件下，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）

【解析】

（1）連結OD，根據AD是角平分線，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線；
（2）構造直角三角形，根據勾股定理求出k的值即可；
（3）設FG與AE的交點為M，連結AG，利用三角函數和相似三角形結合勾股定理解題．

（1）證明：連結，

∵，

∴是的直徑，即在上，

∵是角平分線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴是的切線；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

設，則，

在中，由勾股定理得，

解得，，（舍），（注：也可由得），

∴，即的半徑為6；

（3）解：連結，則，．

∴，

即，，

∴，

∴

∴，

∵，

∴，，

即，．

∴，，

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．