Question

受今年春節的影響，在春節過后的2月份，食用油價格開始回落，某食用油批發商批發甲種品牌的食用油，每桶在2月份前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

周數x	1	2	3	4
價格y1（元/桶）	60	59	58	57

進入3月份后，由于受生產食用油的原材料成本上漲等因素的影響，食用油的價格開始回升，該品牌食用油銷售價格y₂（元/桶）從3月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且銷售價格y₂（元/桶）與周數x（x為整數）的變化情況滿足二次函數：y2=-

1

4

x2+bx+c．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出2月份y₁與x的函數關系式；并求出3月份y₂與x的函數關系式．
（2）若2月份該品牌的食用油進價m₁（元/桶）與周數x滿足函數關系為：m1=

1

3

x2-3x+50，
3月份該品牌的食用油進價m₂（元/桶）與周數x滿足函數關系為：m2=

7

2

x+

81

2

，試問在2月份和3月份中，哪月的哪一周銷售一桶該品牌的食用油利潤最大？最大利潤是多少？
（3）在第（2）問的條件下，該批發商在3月份的第2周以該周的進價購入甲品牌食用油1200桶，準備在3月份第3周進行銷售．在第3周以該周的銷售價銷售了3a%后，為了加快銷售的進度，該批發商決定在原銷售價格的基礎上降價a%進行銷售，這樣順利的完成了第三周銷售1200桶的任務，且獲利12000元，請你參考以下數據，估算出a的整數值（0＜a＜15）．
（參考數據：91²=8281，92²=8464，93²=8649，94²=8836）

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：應用題

分析：（1）根據表格數據，可得出y₁與x的函數關系式；將點（1，54），（2，57）代入，可得出y₂與x的函數關系式；
（2）分別得出二月份、三月份的利潤表達式，然后利用配方法求出最值，繼而比較可得出答案．
（3）根據題意，令x=2求出m₂，令x=3求出y₂，然后列出方程，解出a的值即可，注意考慮實際情況進行取舍．

解答：解：（1）二月份：根據表格可得：y₁=-x+61；
三月份：
∵當x=1時，y=54；當x=2時，y=57，
∴

b+c- 1 4 =54 2b+c-1=57

，
解得：

b= 15 4 c= 101 2

故y₂=-

1

4

x²+

15

4

x+

101

2

．
（2）設第x周的利潤為w元，
二月份：w=y₁-m₁=（-x+61）-（

1

3

x²-3x+50）=-

1

3

x²+2x+11=-

1

3

（x-3）²+14，
∵-

1

3

＜0，
∴開口向下，
又∵對稱軸是：直線x=3，
∴當x=3時，w_最大=14；
三月份：w=y₂-m₂=-

1

4

x²+

15

4

x+

101

2

-（

7

2

x+

81

2

）=-

1

4

x²+

1

4

x=10=-

1

4

（x-

1

2

）²+

161

16

∵-

1

4

＜0，
∴開口向下，
又∵對稱軸是：直線x=

1

2

，
∴當1≤x≤4時，w隨x的增大而減小，
∴當x=1時，w_最大=10，
∵14＞10，
∴二月份的第3周，利潤最大，最大利潤為14元/桶．
（3）在m2=

7

2

x+

81

2

中，令x=2，得：m2=

95

2

，
在y2=-

1

4

x2+

15

4

x+

101

2

中，令x=3，得：y2=

119

2

，
∴

119

2

×1200•3a%+

119

2

(1-a%)•1200•(1-3a%)-

95

2

×1200=12000，
令a%=m，則357m+119（1-m）（1-3m）=115，
整理得：357m²-119m+4=0，
△=8449≈92²，
m1≈

119+92

714

≈0.295，
則a₁≈30（不合題意，舍去），
m2≈

119-92

714

≈0.037，
則a₂≈4，
故a的整數值為4．

點評：本題考查了二次函數的應用，題目所給信息量比較大，注意仔細審題，得到解題需要的信息，將實際問題轉化為數學模型進行求解，難度較大．