Question

如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，菱形的邊長為6，點E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點（E、F與D不重合）．
（1）若E、F滿足AE=DF．
①求證：△BEF是等邊三角形；
②設△BEF面積為S，直接寫出S的最大值和最小值．
（2）若E、F滿足∠BEF=60°，則△BEF是否仍一定為等邊三角形？若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①先證明三角形BEF是等腰三角形，再求出一個內角的度數(shù)是60°．
②當點E、F分別與點D、C重合時，等邊三角形的邊最長面積最大，當EF⊥BD時且E．F分別兩邊的中點時邊最小面積也最�。�
（2）先判定再證明，只要求出另一個內角的度數(shù)就能判定三角形的形狀，利用兩個等角加相鄰的角相等從而求出另一個內角的度數(shù)．

解答：解：（1）①證明：
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=60° AD=CD
∴△ABC與△BCD是正三角形
∴BD=BC
∵AE=DF
∴DE=CF
在△BDE與△BFC中

PE=CF ∠ADB=∠C BD=BC

∴△BDE≌△BFC
∴BE=BF，∠EBD=∠CBF
∴∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°
∴∠EBF=60°
∴△BEF為等邊三角形；
②由①知△BEF為等邊三角形，其邊長最大值為6，最小值為3

3

，
所以S的最大值是9

3

，最小值為

27

4

3

．

（2）△BEF是等邊三角形過E作EG∥DB交AB與點G
可得△AEG是等邊三角形
∴AE=AG，∠EGB=120°，∠AEG=60°
∴GB=ED∠EGB=∠EDF
∵∠BEF=60°
∴∠GEB+∠DEF=60°
∵∠DFE+∠DEF=60°
∴∠GEB=∠DEF
∴△EGB≌△FDE
∴BE=EF
∴△BEF是等邊三角形．

點評：證明這個題一定要牢記等邊三角形的判定條件和等邊三角形的性質．依據題意判斷使用哪種判定條件．