Question

【題目】如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點A（x1，0）、B（x2，0），我們把|x1﹣x2|記為d（A、B），拋物線的頂點到x軸的距離記為d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把這樣的拋物線叫做“正拋物線”．

（1）拋物線y=2x2﹣2是不是“正拋物線”；（回答“是”或“不是”）．

（2）若拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）是“正拋物線”，求拋物線的解析式；

（3）如圖，若“正拋物線”y=x2+mx（m＜0）與x軸相交于A、B兩點，點P是拋物線的頂點，則拋物線上是否存在點C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形？如果存在，請求出C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=2x2﹣2是“正拋物線”；（2）拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；（3）滿足條件的點C坐標為（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）根據“正拋物線”的定義判斷即可；
（2）根據“正拋物線”的定義構建方程即可解決問題；
（3）首先求出m，分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）對于拋物線y=2x2﹣2，

當y=0時，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，

∴A（﹣1，0），B（1，0），

∴d（A，B）=2，

∴d（x）=d（A，B），

∴拋物線y=2x2﹣2是“正拋物線”．

故答案為：是．

（2）當y=0時，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，

∵b＞0，

∴d（A，B）=b，

由題意

解得b=0（舍棄）或b=4，

∴拋物線的解析式為

（3）當y=0時，x2+mx=0，解得x=0或﹣m，

∵m＜0，

∴d（A，B）

∵

∴d（x）

由題意

解得或0（舍棄），

∴

假設存在點C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形，分兩種情形：

①如圖1中，作AC⊥AP交拋物線于點C，厲害PC，作PE⊥x軸交AC于D．

∴AE=2，PE=4，

由△ADE∽△PAE,可得

∴

∴DE=1，

∴D(2,1)，

∴直線AD的解析式為

由解得或

∴

②如圖2中，作PC⊥AP交拋物線于C，交y軸于D，連接AC，作PE⊥x軸于E.

由△ADP∽△PAE,可得 即

∴

∴AD=5，

∴D(0,5)，

∴直線AD的解析式為

由解得或

綜上所述,滿足條件的點C坐標為(92,94)或(52,154).

綜上所述，滿足條件的點C坐標為或