Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF的周長不變；③點C到線段EF的最大距離為1．其中正確的結論有　　．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

①③【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．

【分析】①作常規輔助線連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；

②當E、F分別為AC、BC中點時，EF取最小值，得到EF的值是變化的，DE和DF也是變化的，于是四邊形CEDF的周長變，不正確，

③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，當DF與BC垂直，即DF最小時，FE取最小值2，此時點C到線段EF的最大距離是1．

【解答】解：①連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．

∴①正確；

②當E、F分別為AC、BC中點時，EF取最小值，

∴EF的值是變化的，

∴DE和DF也是變化的，

∴四邊形CEDF的周長變，

∴②不正確，

③△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，

當EF∥AB時，∵AE=CF，

∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，

∴EF取最小值=2，

∵CE=CF=，

∴此時點C到線段EF的最大距離=EF=1，

∴③正確，

故答案為：①③

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正方形、等腰三角形、直角三角形性質等知識，找到EF∥BC時取最小值是解題關鍵．