Question

【題目】如圖：已知矩形ABCD中，AB=cm，BC=3cm，點O在邊AD上，且AO=1cm.將矩形ABCD繞點O逆時針旋轉角()，得到矩形A′B′C′D′

(1)求證：AC⊥OB；

(2)如圖1, 當B′落在AC上時，求AA′；

(3)如圖2，求旋轉過程中△CC′D′的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由三角函數可求得∠AOB＝60°，∠CAD＝30°，易證AC⊥OB；

（2）求出OB、BB′，利用可求得；

（3）過C點作CH⊥于C′D′點H，連結OC，則CH≤OC＋OD′，由此可判斷出D′在CO的延長線上時△CC′D′的面積最大，然后根據三角形面積公式求解即可.

解：(1)Rt△OAB中， ∴∠AOB＝60°

Rt△ACD中，

∴∠CAD＝30°

∴∠OMA＝180°－60°－30°＝90°

即AC⊥OB

(2)Rt△OAM中，

Rt△OAB中，OB′＝OB＝＝2，

Rt△O B′M中，B′M＝，

BM＝OB－OM＝，

Rt△BB′M中，

∴，

∴

(3)如圖，過C點作CH⊥于C′D′點H，連結OC，則CH≤OC＋OD′

只有當D′在CO的延長線上時，CH才最大.

又C′D′長一定，故此時△CC′D′的面積的最大.

而

∴△CC′D′的最大面積為