Question

10．已知函數y=kx²-（3k+1）x+2（k+1）
（1）若該函數的圖象與坐標軸只有兩個交點，求k的值．
（2）當k取不同數值時可以得到不同的函數圖象，請直接寫出這些圖象必定經過的點的坐標；
（3）對于任意正實數k，都有當x＜m時，y隨x的增大而減小，請求出m的最大整數值．

Answer 1

分析 （1）因為k的值不確定，所以要分兩種情況分別討論求出k的值即可；
（2）把函數y=kx²-（3k+1）x+2（k+1）表達式變形為y+x-2=k（x²-3x+2），由條件k取不同數值時可以得到不同的函數圖象，即可求出x和y的值，進而可求出圖象必定經過的點的坐標；
（3）因為k為正實數，所以此函數為二次函數，由已知條件易求拋物線的對稱軸，結合條件當x＜m時，y隨x的增大而減小，即可求出m的最大整數值．

解答 解：（1）當k=0時，y=-x+2，此時與坐標軸有兩個交點；
當k≠0時，△=（k-1）²=0，
解得k=1，
當k+1=0，即k=-1時，函數的圖象過（0，0）和（2，0），與坐標軸也只有兩個交點，
∴k=0或±1時函數與坐標軸有兩個交點；
（2）∵y=kx²-（3k+1）x+2（k+1），
∴y+x-2=k（x²-3x+2），
∵當k取不同數值時可以得到不同的函數圖象，
∴y+x-2=0．x²-3x+2）=0，
∴x=1，y=1，或x=2，y=0，
∴這些圖象必定經過的點的坐標是（1，1）（2，0）
（3）∵k＞0，
∴此函數為二次函數，對稱軸為$x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2k}$＞$\frac{3}{2}$，
∴當m＜$\frac{3}{2}$時，對任意k值y都隨x的增大而減小，
∴m=1．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸交點問題以及二次函數與一元二次方的關系，（3）小題中根據二次函數圖象上點的特征得出m的值是解題關鍵．