Question

（2011•自貢）已知拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）有如下兩個特點：①無論實數a怎樣變化，其頂點都在某一條直線l上；②若把頂點的橫坐標減少

1

a

，縱坐標增大

1

a

分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加

1

a

，縱坐標增加

1

a

分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）上．
（1）求出當實數a變化時，拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點所在直線l的解析式；
（2）請找出在直線l上但不是該拋物線頂點的所有點，并說明理由；
（3）你能根據特點②的啟示，對一般二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）提出一個猜想嗎？請用數學語言把你的猜想表達出來，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）取a=1和-1，求出兩點的坐標，用待定系數法求出直線l的解析式即可；
（2）求出拋物線y=ax²+2x+3的頂點P坐標為(-

1

a

，3-

1

a

)，根據其取值，即可得出不是該拋物線的頂點的坐標；
（3）猜想：對于拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），將其頂點的橫坐標減少

1

a

，縱坐標增加

1

a

分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加

1

a

，縱坐標增加

1

a

分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上；求出其橫、縱坐標，把橫坐標代入函數式，驗證即可；

解答：解：（1）取a=1，得拋物線y=x²+2x+3，
其頂點為P₁（-1，2）．
取a=-1，得拋物線y=-x²+2x+3，
其頂點為P₂（1，4）．
由題意有P₁、P₂在直線l上，設直線l的解析式為y=kx+b，則

-k+b=2 k+b=4

解得：

k=1 b=3

∴直線l的解析式為y=x+3．

（2）∵拋物線y=ax²+2x+3的頂點P坐標為(-

1

a

，3-

1

a

)．
顯然P(-

1

a

，3-

1

a

)在直線y=x+3上．
又-

1

a

能取到除0以外的所有實數，
∴在y=x+3上僅有一點（0，3）不是該拋物線的頂點．

（3）猜想：對于拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），將其頂點的橫坐標減少

1

a

，縱坐標增加

1

a

分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加

1

a

，縱坐標增加

1

a

分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上．證明如下：
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴點A的坐標為(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)，
點B的坐標為(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)．
∵x=-

b+2

2a

時，y=ax2+bx+c=a(

-b+2

2a

)2+b(

-b+2

2a

)+c=

4ac-b2+4

4a

∴點A(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），
同理有B(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)也在拋物線上，故結論成立．

點評：本題主要考查了二次函數的解析式及用待定系數法求函數的解析式，熟記二次函數的頂點坐標公式及其性質，是正確解答的關鍵．