Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優弧CBA上一點（不與A、C重合）
（1）求∠APC與∠ACD的度數；
（2）當點P移動到弧CB的中點時，四邊形OBPC是什么特殊的四邊形，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC為等邊三角形，可得出三個內角都為60°，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數；
（2）當點P移動到弧CB的中點時，四邊形OBPC是菱形，由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為弧BC的中點，得到兩條弧相等，根據等弧對等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，進而得到三角形COP與三角形BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形．

解答：解：（1）連接AC，如圖所示：
∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；
（2）當點P移動到弧CB的中點時，四邊形OBPC是菱形，
理由如下：
連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
當點P移動到CB的中點時，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
則四邊形OBPC為菱形．

點評：此題考查切線的性質，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質，以及弧、圓心角及弦之間的關系，熟練掌握性質與判定是解本題的關鍵．