Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D為BC的中點，以AC為直徑的⊙O交AB于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE：EB＝1：2，BC＝12，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE、EC，根據已知條件易證∠1+∠3＝∠2+∠4=90°，即可得∠OED＝90°，所以DE是⊙O的切線；（2）證明△BEC∽△BCA，根據相似三角形的性質可得 ，即BC2＝BEBA，設AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x，代入可得122＝2x3x，解得x＝2，即可得AE＝2．

（1）證明：連接OE、EC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

∵D為BC的中點，

∴ED＝DC＝BD，

∴∠1＝∠2，

∵OE＝OC，

∴∠3＝∠4，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4，

即∠OED＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OED＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知：∠BEC＝90°，

∵在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，

∴ ，

∴BC2＝BEBA，

∵AE：EB＝1：2，設AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x，

∵BC＝12，

∴122＝2x3x，

解得：x＝2，

即AE＝2．