Question

已知關于x的方程 
（1）求證：不論k取什么實數值，這個方程總有實數根；（4分）
（2）若等腰三角形ABC的一邊長，另兩邊的長b，c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長。（8分）

Answer 1

（1）⊿=·····2分
∵論k取什么實數值，≥0，·∴原方程總有實數根.
（2）∵三角形ABC是等腰三角形ABC，
∴有兩條邊相等。
若b=c,
∵b、c都是方程的根，
∴⊿==0，。
∴b+c="2k+1=3+1=4."
∵a=4,這時b+c=a,不合題意；
∴不存在這種情況。·若b、c中有一條與a相等，不妨設b=a=4.
∵b是所給的方程的根，
∴，∴ ， b+c=2k+1=6，c="2."
∵a+b=8＞c,
∴三角形ABC的周長為a+b+c=8+2=10.

（1）先把方程化為一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要證明無論k取任何實數，方程總有兩個實數根，即要證明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k-1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．