Question

如圖，把矩形OABC放置在直角坐標系中，OA=6，OC=8，若將矩形折疊，使點B與O重合，得到折痕EF，連接OE、BF．
（1）四邊形OEBF的形狀為______．
（2）若直線L把矩形OABC的面積分成相等的兩部分，則直線L必經過點的坐標是______．
（3）求四邊形OEBF的周長？

Answer 1

解：（1）矩形OABC中，OC∥AB，
∴∠COB=∠OBA，
∵將矩形折疊，使點B與O重合，
∴OD=BD，
在△OFD與△BED中，，
∴△OFD≌△BED（ASA），
∴OF=BE，
∴四邊形OEBF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∵將矩形折疊，使點B與O重合，
∴BE=OE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴四邊形OEBF是菱形；

（2）根據梯形的中位線或三角形的中位線定理，過矩形的中心的直線L把矩形OABC的面積分成相等的兩部分，
∵OA=6，OC=8，
∴中心的坐標是（3，4）；

（3）設菱形OEBF的邊長為x，則AE=AB-x=8-x，
在Rt△OAE中，OE²=OA²+AE²，
即x²=6²+（8-x）²，
解得x=，
∴四邊形OEBF的周長=4x=4×=25．
分析：（1）根據矩形的對邊平行的性質得到OC∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等得到∠COB=∠OBA，然后即可證明△OFD與△BED全等，根據全等三角形的對應邊相等得到BE=OF，所以四邊形OEBF是平行四邊形，根據折疊的對稱性得到BE=OE，所以四邊形OEBF是菱形；
（2）根據梯形的中位線定理，或三角形的中位線定理，過矩形的中心直線分矩形為梯形或兩個三角形，平行于矩形的一邊的平行線是梯形的中位線或三角形的中位線，所以所分成兩部分梯形或三角形的面積相等；
（3）設菱形的邊長為x，在Rt△AOE中，表示出AE=8-x，再根據勾股定理列式即可求出x，然后即可求出四邊形OEBF的周長．
點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，菱形的判定與性質，是綜合題，難度不大，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．