Question

【題目】如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是上任一點（點P不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．

（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；

（2）求證：△ACM≌△BCP；

（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）同弧所對圓周角相等.(2)證明A、P、B、C四點共圓，再利用AAS證明三角形全等.(3) 作PH⊥CM于H，利用（2）全等證明PCM是等邊三角形，Rt△PMH是30°特殊三角形，可求得梯形PBCM的面積．

試題解析：

解答：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；

（2）證明：∵CM∥BP，

∴∠BPM＋∠M＝180°，

∠PCM＝∠BPC，

∵∠BPC＝∠BAC＝60°，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°，

∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°，

∴∠M＝∠BPC＝60°，

又∵A、P、B、C四點共圓，

∴∠PAC＋∠PBC＝180°，

∵∠MAC＋∠PAC＝180°，

∴∠MAC＝∠PBC，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△BCP；

（3）解：作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM＝CP AM＝BP，

又∠M＝60°，

∴△PCM為等邊三角形，

∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3，

在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，

∴PH＝，

∴S梯形PBCM＝（PB＋CM）×PH＝(2＋3)×＝ ．