Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2，tan²A+tan²B=

10

3

，∠A＞∠B，點P在斜邊AB上移動，連接PC，
（1）求∠A的度數；
（2）設AP為x，CP²為y，求y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍；
（3）求證：AP=1時，CP⊥AB．

Answer 1

分析：（1）如果設BC=x，那么在Rt△ABC中，由正切函數的定義，可知tanA=

x

2

，tanB=

2

x

，把它們分別代入tan²A+tan²B=

10

3

，得到一個關于x的分式方程，解此方程，可求出x的值，再根據x的實際意義及大角對大邊確定x的值，從而求出tanA，得出∠A的度數；
（2）如果過點C作CD⊥AB于D，則AD=1．此時發現P點的位置可分兩種情況：①點P在線段AD上即0≤x≤1；②點P在線段DB上即1≤x≤4．針對每一種情況，都是在直角△CDP中，運用勾股定理，得出y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍；
（3）首先把AP=1即x=1代入（2）中求出的y關于x的函數解析式中，求出y的值，然后在△ACP中，運用勾股定理的逆定理證出CP⊥AB．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，設BC=x．
則tanA=

x

2

，tanB=

2

x

．
∵tan²A+tan²B=

10

3

，
∴

x2

4

+

4

x2

=

10

3

，
去分母，得3x⁴-40x²+48=0，
∴（x²-12）（3x²-4）=0，
∵x＞0，
∴x=2

3

或

2 3

3

．
經檢驗，x=2

3

或

2 3

3

都是原方程的根．
又∵∠A＞∠B，
∴BC＞AC，
即x＞2，
∴x=2

3

．
∴tanA=

x

2

=

3

，
∴∠A=60°；

（2）如圖，過點C作CD⊥AB于D，則AD=1，CD=

3

．
P點的位置分兩種情況：
①當點P在線段AD上時，0≤x≤1．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AD-AP=1-x，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（1-x）²，
∴y=x²-2x+4；
②當點P在線段DB上時，1≤x≤4．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AP-AD=x-1，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（x-1）²，
∴y=x²-2x+4；
綜上，可知y=x²-2x+4（0≤x≤4）．

（3）∵y=x²-2x+4，
當AP=1即x=1時，
y=1²-2×1+4=3，即CP²=3．
在△ACP中，∵AP=1，AC=2，CP²=3，
∴AP²+CP²=1+3=4=AC²，
∴CP⊥AB．

點評：本題主要考查了銳角三角函數的定義，特殊角的三角函數值，解分式方程，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，有一定難度．其中解第一問的關鍵是能夠根據正切函數的定義，把已知等式轉化為關于x的分式方程，難點在于解此分式方程并確定其值；解第二問的關鍵是能夠將P點的位置正確分類；解第三問的關鍵是能夠想到運用上問的結論，從而運用勾股定理的逆定理證明結論．