Question

我區某鎮地理環境偏僻，嚴重制約經濟發展，豐富的花木產品只能在本地銷售，我區政府對該花木產品每投資x萬元，所獲利潤為P=-

1

50

（x-30）²+10萬元．為了響應我國西部大開發的宏偉決策，我區政府在制定經濟發展的10年規劃時，擬開發此花木產品，而開發前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元．若開發該產品，在前5年中，必須每年從專項資金中拿出25萬元投資修通一條公路，且5年修通．公路修通后，花木產品除在本地銷售外，還可運往外地銷售，運往外地銷售的花木產品，每投資x萬元可獲利潤Q=-

49

50

（50-x）²+

194

5

（50-x）+308萬元．
（1）若不進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（2）若按此規劃進行開發，求10年所獲利潤的最大值是多少？
（3）根據（1）、（2）計算的結果，請你用一句話談談你的想法．

Answer 1

（1）若不開發此產品，按照原來的投資方式，由P=-

1

50

（x-30）²+10知
只需從50萬元專款中拿出30萬元投資，每年即可獲最大利潤10萬元（2分）
則10年的最大利潤為M₁=10×10=100萬元；（4分）

（2）若對該產品開發，在前5年中，當x=25時，每年最大利潤是：
P=-

1

50

（25-30）²+10=9.5萬元，（6分）
則前5年的最大利潤為M₂=9.5×5=47.5萬元．（7分）
設后5年中每年x萬元是用于本地銷售的投資
則由Q=-

49

50

（50-x）²+

194

5

（50-x）+308知，將余下的（50-x）萬元全部用于外地銷售的投資，才有可能獲得最大利潤．
則后5年的利潤是：
M₃=[-

1

50

（x-30）²+10]×5+（-

49

50

x²+

194

5

x+308）×5
=-5（x-20）²+3500．（9分）
故當x=20時，M₃取得最大值為3500萬元．（10分）
所以，10年的最大利潤為M=M₂+M₃=3500+47.5=3547.5萬元；（11分）

（3）因為3547.5＞100
故該項目有極大的開發價值．（12分）