Question

如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，∠A=45°，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點E，，連接CD．
（1）試求BC的長及圓心O到弦BC的距離；
（2）求出∠AEB的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，過點O作OF⊥BC于點F，由BD是⊙O的直徑，可知BC⊥DC，由圓周角定理得∠A=∠BDC=45°，故△ACD為等腰直角三角形，已知BD=，可求CD=BC=2，OF=CD；
（2）已知∠A的度數，AB=AC，可求出∠ACB的值，由（1）知∠DBC的值，代入∠AEB=∠DBC+∠ACB，進行求解即可．
解答：解：（1）過點O作OF⊥BC于點F
∵BD為⊙O的直徑
∴BC⊥DC
∵∠A=∠BDC=45°
∴△BCD為等腰直角三角形
∵BD=
∴BC=CD=×=2，OF=CD=1
∴BC=2，圓心O到弦BC的距離為1；

（2）∵∠A=45°，AB=AC
∴∠ACB=（180°-45°）=67.5°
∵∠DBC=45°
∴∠AEB=∠DBC+∠ACB=112.5°
∴∠AEB=112.5°．
點評：本題主要考查圓周角定理的應用，關鍵是知△BCD為等腰直角三角形．