Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；

（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=5秒；（2）當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值是；（3）t=秒或t=4秒或t=秒．

【解析】

（1）∵當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴求出BC長(zhǎng)是關(guān)鍵，再除以1即得t值，作CE⊥AB于E，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再除以速度即可；

（2）由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，作PF⊥QB于F，△PQB的高PF可由相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，也用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，代入三角形的面積公式可得到一個(gè)二次函數(shù)，即可求出S的最大值；

（3）通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，由勾股定理用含t的代數(shù)式把△PQB三邊表示出來(lái)，根據(jù)線段相等列出含t的方程式求解，即可求得結(jié)論．

解：（1）先求BC長(zhǎng)，作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=DC=5，CE=AD=4，

∴BE=8-5=3，∴BC==5，

∵P到C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴t=5÷1=5（秒），即t=5秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；

（2）由題意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，PF∥CE，

則△BPF～△BCE，∴

代入數(shù)值：，∴PF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值是；

（3）作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，

∵cos∠B==，同時(shí)cos∠B=，即=，

∴BF=t，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8-t-t=8﹣，

利用勾股定理：QP===，

又∵PB=t,QB=8-t

若△PQB為等腰三角形，則討論三種情況：①PQ=PB；②PQ=BQ；③QB=BP．

建立含t的方程：①當(dāng)PQ=PB時(shí)，即t=，

化簡(jiǎn)得：11-128t+320=0，解得t1=8，8>5，不合題意舍去，

∴PQ=PB時(shí)t=；

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，即=8﹣t，化簡(jiǎn)得：，

解得：t1=0（舍去），t2=，∴PQ=BQ時(shí)t=；

③當(dāng)QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．

綜上所述：當(dāng)t=秒或t=4秒或t=秒時(shí)，△PQB為等腰三角形．