如圖，BP、CP分別是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線．求證：P點在∠BAC的平分線上．

【答案】分析：首先過點P作PM⊥AD于點M，作PN⊥BC于點N，作PG⊥AC于點G，由BP、CP分別是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線，根據角平分線的性質，易證得PM=PN=PG，又由在角內部，且到角兩邊距離相等的點，在此角的平分線上，證得P點在∠BAC的平分線上．
解答：

證明：過點P作PM⊥AD于點M，作PN⊥BC于點N，作PG⊥AC于點G，
∵BP、CP分別是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線，
∴PM=PN，PG=PN，
∴PM=PG，
∴P點在∠BAC的平分線上．
點評：此題考查了角平分線的性質與判定．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．

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科目：初中數學 來源： 題型：

探索下列∠A與∠P之間的關系，并說明理由．
（1）如圖①，BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB；
（2）如圖②，BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB的補角：
（3）如圖③，BP平分∠ABC的補角、CP平分∠ACB的補角．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，請你探索∠A和∠P的數量關系．
解：∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠PBC=

∠ABC （

角平分線的定義

）．
同理可得∠PCB=

∠ACB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（

三角形的內角和等于180°

）
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB （等式的性質）
=180°-

（∠ABC+∠ACB ）（

等量代換

）
=180°-

（180°-∠

）
=90°+

∠

．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖①，BO、CO分別為∠ABC和∠ACB的平分線，我們易得∠BOC=90°+

∠A（不必證明，本題可直接運用）；在圖②中，當BO′、CO′分別為∠ABC和∠ACB的外角平分線時，求∠BO′C與∠A的數量關系．我們可以利用“轉化”的思想，將未知的∠BO′C轉化為已知的∠BOC：如圖②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在圖②中存在如圖③的基本圖形：點A、B、D在同一直線上，且BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，試證明：BO⊥BO′；
（2）試直接利用上述基本圖形的結論，猜想并證明圖②中∠BO′C與∠A的數量關系；
（3）如圖④，BP、CP分別為內角∠ABC和外角∠ACF的平分線，試運用上述轉化的思想猜想并證明∠BPC與∠A的數量關系．

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科目：初中數學 來源：同步輕松練習　八年級　數學　上 題型：068

如圖，BP，CP分別是△ABC的∠ABC，∠ACB的內角或相鄰外角平分線，請你根據下面的三種情形分別畫出點P到△ABC三邊所在的直線的距離．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

如圖①，BO、CO分別為∠ABC和∠ACB的平分線，我們易得∠BOC=90°+ $數學公式$ ∠A（不必證明，本題可直接運用）；在圖②中，當BO′、CO′分別為∠ABC和∠ACB的外角平分線時，求∠BO′C與∠A的數量關系．我們可以利用“轉化”的思想，將未知的∠BO′C轉化為已知的∠BOC：如圖②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在圖②中存在如圖③的基本圖形：點A、B、D在同一直線上，且BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，試證明：BO⊥BO′；
（2）試直接利用上述基本圖形的結論，猜想并證明圖②中∠BO′C與∠A的數量關系；
（3）如圖④，BP、CP分別為內角∠ABC和外角∠ACF的平分線，試運用上述轉化的思想猜想并證明∠BPC與∠A的數量關系．

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