Question

如圖①，BO、CO分別為∠ABC和∠ACB的平分線，我們易得∠BOC=90°+

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∠A（不必證明，本題可直接運用）；在圖②中，當BO′、CO′分別為∠ABC和∠ACB的外角平分線時，求∠BO′C與∠A的數量關系．我們可以利用“轉化”的思想，將未知的∠BO′C轉化為已知的∠BOC：如圖②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在圖②中存在如圖③的基本圖形：點A、B、D在同一直線上，且BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，試證明：BO⊥BO′；
（2）試直接利用上述基本圖形的結論，猜想并證明圖②中∠BO′C與∠A的數量關系；
（3）如圖④，BP、CP分別為內角∠ABC和外角∠ACF的平分線，試運用上述轉化的思想猜想并證明∠BPC與∠A的數量關系．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線、平角的定義進行證明；
（2）∠BO′C=90°-

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∠A．由（1）中基本圖形結論得：∠OBO′=∠OCO′=90°．根據四邊形內角和是360度得到：∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，則
∠BO′C=90°-

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∠A．
（3）猜想：∠BPC=

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∠A．如圖④，作CO平分∠ACB，交BP于點O．由（1）中基本圖形結論得到：∠OCP=90°．利用∠BPC=90°+

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∠A，故∠BPC=∠BOC-∠OCP=

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∠A．

解答：（1）證明：如圖③，∵BO、BO′分別平分∠ABC和∠DBC，
∴∠CBO=

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∠ABC，∠CBO′=

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∠CBD，
∵∠ABC+∠DBC=180°，
∴∠CBO+∠CBO′=

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（∠ABC+∠DBC）=90°；

（2）猜想：∠BO′C=90°-

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∠A．
證明：由（1）中基本圖形結論得：∠OBO′=∠OCO′=90°．
∵∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，
∴∠BO′C=360°-180°-∠BOC=180°-∠BOC，
∴∠BO′C=90°-

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∠A．

（3）猜想：∠BPC=

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∠A．
證明：如圖④，作CO平分∠ACB，交BP于點O．
由（1）中基本圖形結論得到：∠OCP=90°．∵∠BPC=90°+

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∠A，
∴∠BPC=∠BOC-∠OCP=

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∠A．

點評：本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．