Question

如圖，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AP，過P作∠APE=∠B，交DC于E．
（1）求證：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的長；
（3）在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等；由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；
（2）可過作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長即可求得AB的值；
（3）在（2）中求得了AB的長，即可求出DE：EC=5：3時(shí)，DE、CE的值．設(shè)BP的長為x，進(jìn)而可表示出PC的長，然后根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式，由此可得出關(guān)于x的分式方程，若方程有解，則x的值即為BP的長．若方程無解，則說明不存在符合條件的P點(diǎn)．

解答：（1）證明：由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；

（2）解：過A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=

7-3

2

=2cm，
∵Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；

（3）解：存在這樣的點(diǎn)P．
理由是：∵

DE：EC=5：3 DE+EC=DC=4

解之得EC=

3

2

cm．
設(shè)BP=x，則PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得

AB

PC

=

BP

EC

，
∵AB=4，PC=7-x，
∴

4

7-x

=

x

3 2

解之得x₁=1，x₂=6，
經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，
即BP=1cm或BP=6cm．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．