Question

如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結論：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE²+DC²=DE²，
其中正確的有（ ）個．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS證明△AED≌△AEF，判定①正確；
如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，則∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此條件，判定②錯誤；
先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS證明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根據三角形兩邊之和大于第三邊可得BE+BF＞EF，等量代換后判定③正確；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，進而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，運用勾股定理得出BE²+BF²=EF²，等量代換后判定④正確．
解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED與△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，
∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE與∠CAD不一定相等，
∴△ABE與△ACD不一定相似，②錯誤；

③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD與△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正確；

④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，④正確．
所以正確的結論有①③④．
故選C．
點評：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，等腰直角直角三角形的性質，三角形三邊關系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析，有一定難度．