Question

如圖△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，給出下列結論：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正確的是________ （寫序號）

Answer 1

①②④⑤
分析：根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DC=DE，判斷①正確，然后利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ADC=∠ADE，判斷②正確；全等三角形對應邊相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判斷④正確；根據同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判斷⑤正確，并得到③錯誤．
解答：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，故①正確；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，
∴DA平分∠CDE，故②正確；
BE+AC=BE+AE=AB，故④正確；
∵∠BAC+∠B=90°，
∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE，故⑤正確；
∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB錯誤，故③錯誤；
綜上所述，正確的有①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．
點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，是基礎題，求出三角形全等是解題的關鍵．