Question

如圖△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D是BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的圓與AB，BC都相切，則⊙O的半徑為（　　）

• A、

  12

  7

• B、

  1

  5

• C、

  5

  3

• D、2

Answer 1

分析：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．根據切線的性質，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出關于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．

解答：解：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點E、F是切點，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得
BC=8；
又∵D是BC邊的中點，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴

1

2

AB•OE+

1

2

BD•OF=

1

2

CD•AC，即10×OE+4×0E=4×6，
解得，OE=

12

7

，
∴⊙O的半徑是

12

7

；
故選A．

點評：本題考查了切線的性質與三角形的面積．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．