Question

【題目】如圖,在△ABC中.AC=BC=5.AB=6.CD是AB邊中線.點P從點C出發，以每秒2.5個單位長度的速度沿C-D-C運動.在點P出發的同時，點Q也從點C出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊CA向點A運動.當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止，設點P運動的時間為t秒.

（1）用含t的代數式表示CP、CQ的長度.

（2）用含t的代數式表示△CPQ的面積.

（3）當△CPQ與△CAD相似時，直接寫出t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當0＜t≤時，CP=2.5t，CQ=2t；當時，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）當0＜t≤時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=；當時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）0＜t≤或s

【解析】

（1）分兩種情形：當0＜t≤時，當＜t時，分別求解即可．

（2）分兩種情形：當0＜t≤時，當＜t≤時，根據S△CPQ=PCsin∠ACDCQ分別求解即可．

（3）分兩種情形：當0＜t≤，可以證明△QCP∽△DCA，當＜t，∠QPC=90°時，△QPC∽△ADC，構建方程求解即可．

解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴CD===4，

當0＜t≤時，CP=2.5t，CQ=2t，

當時，CP=8-2.5t，CQ=2t．

（2）∵sin∠ACD==，

∴當0＜t≤時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×2.5t××2t=

當時，S△CPQ=PCsin∠ACDCQ=×（8-2.5t）××2t=.

（3）①當0＜t≤時，

∵CP=2.5t，CQ=2t，

∴=，

∵=，

∴，

∵∠PCQ=∠ACD，

∴△QCP∽△DCA，

∴0＜t≤時，△QCP∽△DCA，

②當時，當∠QPC=90°時，△QPC∽△ADC，

∴，

∴，

解得：，

綜上所述，滿足條件的t的值為：0＜t≤或s時，△QCP∽△DCA．